名师讲解大赛前助阵解析

　　小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛，多做好题是提高解题能力的有效途径。本文中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答，希望对开拓思路能起一点作用。

　　例1下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动轮，大齿轮半径为105，小齿轮半径为90。现在两个齿轮的标志线在同一直线上，问大齿轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直线上？

　　分析这道题可以看成下面的问题：

　　在A点有甲、乙二人，同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈，问甲沿左边大圈至少跑了多少圈后，乙沿右边小圈跑到了A点或B点？

　　解：由于要求乙到达A点或B点，所以乙跑的路程应该是小圆周长一半的倍数；又由于乙与甲跑的路程相等，所以问题就变成了：

　　大圆周长的至少多少倍是小圆周长一半的倍数？设甲跑了n圈，则有

　　答：主动轮至少转3圈，两条标志线又在一条直线上。

　　说明：变换问题的叙述方式，往往是发现解题思路的重要手段。

　　例2王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息两天，如果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期后，他才能又在星期天休息？

　　分析首先应该计算出至少过了多少天，王师傅又在星期天休息，由于他是连续休息2天，因此可能出现两种情况：星期六和星期天，星期天和星期一。

　　解：由于王师傅工作8天，休息2天，所以每10天一循环，设过了n个10天又是星期天，那么总天数就是10n天，又由于每过7天是一个星期天，这就要求10n是7的倍数，因此n至少等于7，总天数就是70天；另外一种情况是过了n个10天是星期一，也可以使王师傅在星期天休息，同样的分析可以知道，10n－1是7的倍数，这时n至少等于5，总天数为

　　10×5－1＝49（天）。

　　由于49＜70，

　　所以第二种情况在第一种情况之前出现，这就说明王师傅至少过49天才又在星期天休息，而不难算出49天等于7个星期。

　　答：王师傅至少过7个星期又在星期天休息。

　　例3从1～100这100个不等的数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，有多少种不同的取法？

　　分析在这100个不等的数中，每次取出2个其中必有一个较小的，又这二数之和要大于100，我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论。

　　解：较小数是1，有1种取法，即（1，100）；

　　较小数是2，有2种取法，即（2，99），（2，100）；

　　较小数是50，有50种取法，即（50，51），（50，52），（50，53），…，（50，100）；

　　较小数是51，有49种取法，即（51，52），（51，53），（51，54），…，（51，100）；

　　较小数是99，有1种取法，即（99，100）。

　　所以共有取法：

　　1＋2＋…＋49＋50＋49＋…＋2＋1

　　＝2（1＋2＋…＋49＋50）－50

   
　　＝2500（种）。

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